حل تمرین صفحه 56 ریاضی یازدهم تجربی

دو تابع زمانی برابرند که **دامنه و ضابطهٔ آن‌ها یکسان** باشد. ## الف) $f(x)$ و $g(x) = \frac{|x|}{x}$ **۱. بررسی ضابطهٔ $g(x)$**: $$g(x) = \frac{|x|}{x} = \begin{cases} \frac{x}{x} = 1 & x > 0 \\ \frac{-x}{x} = -1 & x < 0 \end{cases}$$ ضابطهٔ $g(x)$ کاملاً با ضابطهٔ $f(x)$ برابر است. **۲. بررسی دامنه**: * $$D_f = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) = \mathbb{R} - \{0\}$$ * $$D_g: \text{مخرج } x \neq 0 \Rightarrow D_g = \mathbb{R} - \{0\}$$ **نتیجه**: چون $D_f = D_g$ و ضابطه‌ها برابرند، دو تابع **با هم برابرند**. --- ## ب) $f(x) = x - 2$ و $g(x) = \frac{x^2 - 4}{x + 2}$ **۱. بررسی دامنه**: * $$D_f = \mathbb{R}$$ * $$D_g: \text{مخرج } x + 2 \neq 0 \Rightarrow D_g = \mathbb{R} - \{-2\}$$ **۲. بررسی ضابطه**: $$g(x) = \frac{x^2 - 4}{x + 2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 2}$$ برای $x \neq -2$، ضابطهٔ $g(x)$ ساده می‌شود به: $g(x) = x - 2$. (ضابطه‌ها یکسان‌اند، اما فقط برای $x \neq -2$). **نتیجه**: چون $D_f \neq D_g$ ($D_f$ شامل $-2$ است اما $D_g$ شامل $-2$ نیست)، دو تابع **با هم برابر نیستند**.

دامنهٔ تابع گویای $f(x)$، مجموعهٔ تمام اعداد حقیقی است به جز مقادیری که مخرج را صفر می‌کنند. **۱. ریشهٔ مخرج**: $$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$$ **۲. دامنه**: $$D_f = \mathbb{R} - \{3\}$$

برای توابع رادیکالی با فرجهٔ زوج، عبارت زیر رادیکال باید نامنفی باشد ($A(x) \ge 0$). ## الف) $h(x) = \sqrt{4x + 1}$ $$4x + 1 \ge 0 \Rightarrow 4x \ge -1 \Rightarrow x \ge -\frac{1}{4}$$ $$D_h = \left[ -\frac{1}{4}, +\infty \right)$$ ## ب) $k(x) = \sqrt{1 - 4x}$ $$1 - 4x \ge 0 \Rightarrow 1 \ge 4x \Rightarrow x \le \frac{1}{4}$$ $$D_k = \left( -\infty, \frac{1}{4} \right]$$ ## پ) $t(x) = \sqrt{x^2 - x}$ $$x^2 - x \ge 0 \Rightarrow x(x - 1) \ge 0$$ ریشه‌های عبارت $x(x - 1)$ عبارتند از $x=0$ و $x=1$. با استفاده از جدول تعیین علامت (یا روش خارج ریشه‌ها، چون ضریب $x^2$ مثبت است)، عبارت نامنفی است اگر: $$x \le 0 \quad \text{یا} \quad x \ge 1$$ $$D_t = (-\infty, 0] \cup [1, +\infty)$$

دامنهٔ یک تابع گویا $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ برابر $\mathbb{R}$ منهای ریشه‌های مخرج $Q(x)$ است. برای اینکه دامنه $\mathbb{R} - \{4\}$ باشد، مخرج $Q(x)$ باید ریشهٔ $x=4$ داشته باشد. ساده‌ترین تابع گویا این است که مخرج را $x - 4$ در نظر بگیریم و صورت را یک عدد یا یک عبارت غیر صفر در $x=4$ بگیریم. **تابع پیشنهادی** (با ساده‌ترین صورت): $$f(x) = \frac{1}{x - 4}$$ **تابع پیشنهادی ۲** (با صورت پیچیده‌تر): $$g(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 4}$$ (برای مقایسه، هر دو تابع دامنهٔ $\mathbb{R} - \{4\}$ دارند.)

## ۱. تعیین دامنهٔ تابع تابع $g(x)$ یک تابع رادیکالی با فرجهٔ زوج است، بنابراین عبارت زیر رادیکال باید نامنفی باشد: $$\text{عبارت زیر رادیکال} \ge 0 \Rightarrow x - 4 \ge 0$$ $$x \ge 4$$ $$\text{دامنهٔ تابع}: D_g = [4, +\infty)$$ --- ## ۲. رسم نمودار تابع نمودار $g(x) = -3 + \sqrt{x - 4}$ با استفاده از انتقال نمودار اصلی $f(x) = \sqrt{x}$ به دست می‌آید: 1. **انتقال افقی**: $4$ واحد به **راست** (به دلیل $x - 4$). 2. **انتقال عمودی**: $3$ واحد به **پایین** (به دلیل $-3$). **نقطهٔ شروع (رأس)**: نقطهٔ شروع نمودار $f(x) = \sqrt{x}$، مبدأ $(0, 0)$ است. پس نقطهٔ شروع $g(x)$ عبارت است از $(0 + 4, 0 - 3) = (4, -3)$. **چند نقطهٔ کمکی**: | $x$ | $g(x) = -3 + \sqrt{x - 4}$ | نقطه | | :---: | :---: | :---: | | 4 | $-3 + \sqrt{4 - 4} = -3$ | $(4, -3)$ | | 5 | $-3 + \sqrt{5 - 4} = -3 + 1 = -2$ | $(5, -2)$ | | 8 | $-3 + \sqrt{8 - 4} = -3 + 2 = -1$ | $(8, -1)$ | نمودار از $(4, -3)$ شروع شده و به سمت راست و بالا می‌رود.

جزء صحیح $\lfloor x \rfloor$ بزرگ‌ترین عدد صحیح کوچکتر یا مساوی $x$ است. * **$\lfloor 3.004002 \rfloor$**: $$\lfloor 3.004002 \rfloor = \mathbf{3} \quad (\text{زیرا } 3 \le 3.004002 < 4)$$ * **$\lfloor -8.06003 \rfloor$**: $$\lfloor -8.06003 \rfloor = \mathbf{-9} \quad (\text{زیرا } -9 \le -8.06003 < -8)$$ * **$\lfloor -230.054 \rfloor$**: $$\lfloor -230.054 \rfloor = \mathbf{-231} \quad (\text{زیرا } -231 \le -230.054 < -230)$$

این تابع از سه پاره‌خط افقی تشکیل شده است. **۱. $,0 1)$، $f = 3$**: * پاره‌خط افقی در ارتفاع $y=3$. * نقطهٔ $x=0$ **پُر** و نقطهٔ $x=1$ **توخالی** , است. **۲. $[1 5]$، $f = 0$**: * پاره‌خط افقی روی محور $x$ . * هر دو نقطهٔ $x=1$ و $x=5$ **پُر** هستند $، $f(x) = 2$**: * پاره‌خط افقی در ارتفاع $y=2$. * نقطهٔ $x=6$ (سمت چپ) **توخالی** (خارج بازه) و نقطهٔ $x=7$ (سمت راست) **پُر** (شامل بازه) است.

تابع $f(x) = \frac{1}{x}$ یک تابع هموگرافیک است که در $x=0$ دارای مجانب عمودی است. **دامنه**: $D_f = [-5, 5] - \{0\}$. این به معنای آن است که نمودار باید در محدودهٔ طول‌های $-5 \le x \le 5$ رسم شود، به جز در $x=0$. **ویژگی‌ها**: * در $x=0$ مجانب عمودی دارد. * در $y=0$ (محور $x$) مجانب افقی دارد. * نمودار در ربع اول ($x>0$) و ربع سوم ($x<0$) قرار دارد. **نقاط انتهایی دامنه**: * $x = 5 \Rightarrow f(5) = \frac{1}{5} = 0.2$. نقطهٔ $(5, 0.2)$ یک نقطهٔ **پُر** است. * $x = -5 \Rightarrow f(-5) = -\frac{1}{5} = -0.2$. نقطهٔ $(-5, -0.2)$ یک نقطهٔ **پُر** است. **رسم نمودار**: نمودار $y = \frac{1}{x}$ را از $x=-5$ تا $x=5$ (به جز $x=0$) رسم می‌کنیم و انتهای آن را با دایره‌های پُر مشخص می‌کنیم. -{0}]

تابع $f(x) = 2 + \lfloor x \rfloor$ یک تابع پله‌ای است که نمودار $y = \lfloor x \rfloor$ را به اندازهٔ $2$ واحد به بالا منتقل می‌کند. دامنهٔ آن $D_f = [-3, 3)$ است. **۱. تعیین مقادیر تابع در بازه‌های جزء صحیح** دامنهٔ $[-3, 3)$ را به بازه‌های جزء صحیح تقسیم می‌کنیم: | بازهٔ $x$ | $\lfloor x \rfloor$ | $f(x) = 2 + \lfloor x \rfloor$ | | :---: | :---: | :---: | | $[-3, -2)$ | $-3$ | $2 + (-3) = -1$ | | $[-2, -1)$ | $-2$ | $2 + (-2) = 0$ | | $[-1, 0)$ | $-1$ | $2 + (-1) = 1$ | | $[0, 1)$ | $0$ | $2 + 0 = 2$ | | $[1, 2)$ | $1$ | $2 + 1 = 3$ | | $[2, 3)$ | $2$ | $2 + 2 = 4$ | **۲. رسم نمودار** نمودار شامل پاره‌خط‌های افقی است. * نقطهٔ شروع در $x=-3$: $(-3, -1)$ (پُر) * نقطهٔ پایان در $x=3$: $(3, 4)$ (توخالی)